Bölme/Çarpma Arasındaki Fark Neden Kaynaklanıyor?

100 %10 azaltmak için 0.9 ile çarparsınız 1.1 ile değil. Yanlış düşündüğünüz için böyle oluyor. İlla bölerek yapacam diyorsanız 10/9 ile çarparsınız. Yani matematiksel olarak izah edilecek bir şey yok, siz yanlış bir yere takılmışsınız.

Yukarıda cevaba ilave yaptım. Özetle yüzde fazlasını alırken 1.10 kullanılıyor fakat yüzde 10 veya bir başka eksiğini almak için o sayı 1.10 a bölünmez.

Mevzu şu Türkçe olarak matematigi yorumlarsan anlarsın. 1.1 çarpmak demek 100 un 1.1 katini ver demek buda 110. Fakat 1.1 e bölmek demek 100 ün icinde kac tane 1.1 var demektir onunda sonucu makinenin yaptığı. Yani 90.90 tane 1.1 i carparsan 100 eder demek. Mantık hatası yok yani

@Argonaut; Kafanızdaki sorunun cevabını size şu şekilde anlatırsam çok daha iyi anlaşılacaktır.
Öncelikle bir sayının misal yüzde on fazlasını almak için niçin 1.10 ile çarpılıyor onu anlatayım.


Normalde 500 sayısının yüzde on fazlasını bulmak için SAYI*yüzdelik oran / 100 yani, 500*10/100 yapılır. 10/100=0,1 olduğundan
kısaca SAYI*0,10 işlemi yapılır. Yani 500*0,10=50 Bu işlem yüzdesini bulmak için yapılır.
Yukarıdaki işleme ek olarak, bir de ilk sayıyı eklersek, SAYI*0,10+İLK SAYI yani 500*0,10+500 = 550 yüzde onu eklemiş oluruz.


Bunu da kısaca yapabilmek için SAYI*1,10 yapılır. 0,10 yerine 1,10 olmasının sebebi, yüzde onluk kısımı bulmak için kullandığımız 0,1 yerine 1,1 kullanmış olmamız.
Sayının kendisi ( bu da 1 olarak işlemde gösterilir ) + sayının yüzde onu ( 0,10 )
Yani 1+0,10 = 1,10 ile çarpılır.

Aynı mantık, sayının yüzde on eksiğini almak için 10/100=0,1 ile çarparsak,
SAYI*0,10- İLK SAYI yani , 500*0,10-500 = 450 bulunur.
Bunu da kısaca şu şekilde ifade ederiz, 500*0,9=450

Yüzde on fazlasına eklediğimiz gibi, yüzde on eksiğinde de 0,9 ile çarpmamızın nedeni aynı.
Sayının kendisi ( bu da 1 olarak işlemde gösterilir ) - sayının yüzde onu ( 0,10 )
1-0,10 = 0,9

Yani yüzde on fazlasını almak için 1,1 ile çarpılırken, yüzde on eksiğini almak için 0,9 ile çarpılır.

Daha açıklayıcı olması için kısa bir örnek.

500 sayısının yüzde yirmi fazlası
SAYI*YÜZDE/100+İLK SAYI
500*20/100+500 = 600
Yukarıdaki 20/100 0,2 olarak, 500 ise 1 olarak ifade edilir. Yani 0,2+1 = 1,20
500*1,20=600

500 sayısının yüzde yirmi eksiği
SAYI*YÜZDE/100-İLK SAYI
500*20/100-500 = 400
Yukarıdaki 20/100 0,2 olarak, 500 ise 1 olarak ifade edilir. 1-0,2 = 0,8
500*0,8 = 400

Yani bir sayının %10 fazlası 1,1 % 10 azı 0,9
%20 fazlası 1,2 , % 20 azı 0,8
%30 fazlası 1,3, % 30 azı 0,7 ile çarpılmasıyla bulunur. Umarım rahatlamışsınızdır

ChatGPT diyor ki..



Bir sayıyı 1.1 ile çarpınca %10 fazlasını sayıya eklemiş oluyoruz. Aynı mantıkla 1.1 ile bölünce de %10 eksiltmiş olmamız gerekiyor ama sonuç küsüratlı çıkıyor. Matematiksel sebebi nedir?

Bu soruda küsüratlı sonuç çıkmasının sebebi, sayının 1.1 ile bölündüğünde tam bölünememesidir. Matematiksel olarak, bir sayıyı 1.1 ile çarpmanın %10 fazlasını eklemek, sayıyı 1.1 ile çarpmak ve çıkan sonucu sayıya eklemek anlamına gelir. Yani, eğer sayımız x ise, işlem şöyle yazılabilir:

x + 1.1x*10/100 = 1.1x + 0.11x = 1.21x

Benzer şekilde, bir sayıyı 1.1 ile bölmek, sayıyı 1.1 ile bölmek ve çıkan sonucu sayıdan çıkarmak anlamına gelir. Yani, eğer sayımız y ise, işlem şöyle yazılabilir:

y - y/1.1*10/100 = y - 0.1y/1.1 = 0.9y/1.1

Ancak, burada dikkat etmemiz gereken nokta, y'nin 1.1 ile tam olarak bölünememesidir. Bu nedenle, sonuç küsüratlı çıkar. Örneğin, 10 sayısını 1.1 ile bölersek, sonuç 9.090909090... şeklinde küsüratlı çıkar.

Peki sayıyı 1.1 ile bölmek %10 azaltmak mıdır? Değilse % kaç azaltmaktır?

Evet, bir sayıyı 1.1 ile bölmek %10 azaltmak anlamına gelir. Yani, eğer sayımız x ise, x'i 1.1 ile böldüğümüzde, sayı %10 azalır ve sonuç şu şekilde yazılabilir:

x/1.1 = 0.909090909...x

Burada, sonucun %9,09090909... azaltıldığını söyleyebiliriz.

Peki neden çarpma işleminde küsürat yokken bölme işleminde küsürat oluyor?

Bu durum, sayıların doğal olarak bölünememe özelliğinden kaynaklanır. 1.1, kesirli bir sayıdır ve bu sayı, bazı sayılarla tam olarak bölünemez. Örneğin, 10 sayısı 1.1 ile bölündüğünde, kesirli bir sonuç ortaya çıkar: 9.090909090... Aynı şekilde, 1.1 ile çarpılan herhangi bir sayı ise tam sayı olacaktır, çünkü 1.1 ile çarpma işlemi, sayıyı 10/11 ile çarpma işlemine eşdeğerdir ve 10/11 kesirli bir sayıdır. Bu nedenle, çarpma işlemi sonucunda küsüratlı bir sonuç oluşmazken, bölme işlemi sonucunda küsüratlı bir sonuç oluşur.

Sanırım şimdi anladım hocam.

Çarpma ve bölmedeki simetri işlemlerin ters uygulanması halinde geçerlidir.
Yani 100 ü 1.1 ile çarparsan 110 yapar. Bu işlemin simetrik olarak tersi 110 u 1.1 e bölmektir.
Yoksa 100 ü 1.1 ile çarpmak ve 1.1 e bölmek simetrik işlemler değildir. Birindeki artış oranı ile diğerindeki azalış oranı simetrik olmaz.

Bölme ve çarpma işlemlerinin toplama ve çıkarma olarak simetrik olması için çarpmada bölmede kullanılan kesirin simetrik artması azalması lazım.
Yani 1,1 ile çarptığımızda %10 ekleriz. ama %10 çıkarmak için 1.1 e bölmeyiz 0,90 ile çarparız.
Bölmedeki tersi simetrik işlemi ise 110 un 1.1 e bölünmesidir o da 10 çıkarıp 100 sayısına döndürür.

Nasıl 1.1 ile çarptığımızda bir sayıyı %10 arttırıyorsak aynı şelkilde 1.1 ile böldüğümüzde de bir sayıyı %10 azaltırız.
Ama azalan bizim işleme aldığımız ilk sayı değil çıkan sonucun kendisidir.
Yani 90,90 %10 arttırılıp 100 yapılmış bir sayıdır ve biz 90,90 ı tekrar 1.1 e böldüğümüzde %10 azalır eski haline döner.

öyle bir anlatılmış ki benimde kafam karıştı. bölme yaparken tam bölünmediğinde “kalan” dediğimiz şey oluyor ve virgül atıyorduk ya olay o. yani matematikten anlamasam da sanırım o 😂

Bu durum, ondalık sayılar ve virgüllü sayıların işleyişinden kaynaklanır. 100 üzerinden 1.1 bölme işlemi yaparken sonuç tam bir sayı değil, ondalık bir sayı olarak çıkar. Bu nedenle, sonuçta küsuratlı bir sayı görürsünüz. Matematikte virgül ve ondalık sayılar oldukça yaygın kullanılır ve bu nedenle, hesaplama sırasında her zaman küsuratlı sayılarla karşılaşabilirsiniz.