Şöyle bir kafa yordum ama işin içinden çıkamadım.
1. "yaşındayım" için dil bilgisel inceleme yaparsak
[yaş-ı-n-da+y+ım]
yaş = isim kök
ı = iyelik eki, 3. tekil şahıs eki (15 sayısının yaş+ı gibi olabilir.)
n = zamir n'si olarak da geçer literatürde, bu ek kesinlikle kaynaştırma harfi değildir ki bizce onun adı da yardımcı sestir kaynaştırma değil, neyse bu ek iki isim çekim eki arasındaki n'dir.
da = bulunma eki (bunu biliyorsunuz, o senenin içindeyiz demek istiyoruz)
y = yardımcı ses
ım = birinci tekil şahıs eki (işte buradaki y yardımcı sestir, iki ünlü arasına gelir.)
Örn: "15'in yaşındayım.", "15 yaşındayım" mantıklı görünüyor. Bir problem yok gibi.
2. "yaşımdayım"
[yaş-ım-da-y-ım]
yaş = isim kök
ım = birinci teklik şahıs iyelik eki (sahiplik eki)
da = bulunma eki
y = yardımcı ses
ım = birinci tekil şahıs eki
Örn: "15 yaşımdayım" bu da yaşının sahipliğini bildiriyor bunda da sorun yok gibi.
EDİT: Yapay Zeka Sorgusu ve Cevabı
EDİT: Araştırmalarım Sonucu Vardığım Sonuç
TDK tarafından net bir şey belirtilmezse tartışmalara açık bir konu. Yapay zekayı zaten savunduğum söylenemez. Her doğru bazılarına göre doğru, bazılarına göre yanlış olabilir tamamen tartışılır bir konu.
TDK Sözlük sitesinde "Yaşında" olarak arattığımda çıkan sonuç aşağıdaki resimdeki gibidir.

yani o zaman "Yaşındayım" demek doğru olabilir.
"Yaşımda" olarak arattığımda bir sonuç bulamıyorum.
Özetle kuralcı dil bilgisine göre "... yaşımdayım." doğruyken betimleyici dil bilgisine göre "... yaşındayım." doğrudur.
*Kuralcı Dilbilgisi: Kuralcı dilbilgisi bir dili değişmeye karşı korumayı amaçlarken, bir öğretimsel dilbilgisi böyle bir amaç gütmemekte, yalnızca bir dilin o gün geçerli olan kurallarını öğretmeyi hedeflemektedir.
*Betimleyici Dilbilgisi: Bir dilin betimlenmesi, o dili konuşanların zihninde bulunan dilbilgisinin betimlenmesidir. Konuşucuların dilsel kapasitesinin ne derece doğru modellendiği, dilbilgisinin ve dilin ne derece doğru betimlendiğini belirler. Betimleyici dilbilgisi, işte böyle bir modele denmektedir.


