Merhabalar
PHP tarafında tarih sınırını belirlemek güzel bir başlangıç olmuş ancak, formdaki <input type="date"> alanının min değerini kullanıcının seçimine göre dinamik olarak belirlemek istiyorsanız, bunu JavaScript ile yapmanız gerekir. Aşağıda ufak bir örnek bırakayım umarım yardımcı olur deneyip ihtiyacınıza göre güncelleyebilirsiniz JavaScript kodunu

<select name="aciliyet_turu" id="aciliyet" class="form-control" required onchange="tarihGuncelle()">
<option value="" disabled selected>Aciliyet Seçiniz</option>
<option value="Acil">Acil</option>
<option value="Acil Değil">Acil Değil</option>
</select>

<input name="baslamatarihi" id="tarih" type="date" class="form-control" placeholder="Başlama Tarihi" required>

<script>
function tarihGuncelle() {
const secim = document.getElementById("aciliyet").value;
const tarihInput = document.getElementById("tarih");

let bugun = new Date();
let minGun = secim === "Acil" ? 1 : 3;
bugun.setDate(bugun.getDate() + minGun);

let yil = bugun.getFullYear();
let ay = String(bugun.getMonth() + 1).padStart(2, '0');
let gun = String(bugun.getDate()).padStart(2, '0');

let minTarih = `${yil}-${ay}-${gun}`;
tarihInput.min = minTarih;
tarihInput.value = minTarih;
}
</script>