Evet mümkün veri çekimi esnasında seçili olacak verileri belirtmelisiniz.
Örnek kod:

<?php
      $kullanici = $db->prepare("SELECT * FROM kullanicilar");
      $kullanici->execute();
      while ($kullanicicek = $kullanici->fetch(PDO::FETCH_ASSOC)) {
        $selected = ($kullanicicek['kul_id'] == 7 || $kullanicicek['kul_id'] == 10) ? 'selected' : '';
      ?>

Edit Tam kodunuz şöyle ollmalı:

<div class="form-row">
  <div class="form-group col-md-4">
    <label>Görevliler</label>
    <select multiple required name="ikizintalep_kullanici[]" class="form-control selectpicker" data-live-search="true" data-actions-box="true">
      <?php
      $kullanici = $db->prepare("SELECT * FROM kullanicilar");
      $kullanici->execute();
      while ($kullanicicek = $kullanici->fetch(PDO::FETCH_ASSOC)) {
        $selected = ($kullanicicek['kul_id'] == 7 || $kullanicicek['kul_id'] == 10) ? 'selected' : '';
      ?>
        <option value="<?php echo $kullanicicek['kul_id']; ?>" <?php echo $selected; ?>>
          <?php echo $kullanicicek['kul_isim']; ?>
        </option>
      <?php } ?>
    </select>
  </div>
</div>