Öncelikle ilgilenip cevaplar yazdığınız için teşekkürler.
• İşlemleri api ile yaptığımız için RouteServiceProvider.php sayfasında yer alan kod yapısında prefix değerlerimiz api 'dir. Bu yapı sabittir. api buradan geliyor yani
• Son olarak sorunu çözdüm. Verileri gönderim şekli ile alakalı bir sorun vardı.

$this->routes(function () {
            Route::middleware('api')
                ->prefix('api')
                ->group(base_path('routes/api.php'));
            Route::middleware('web')
                ->group(base_path('routes/web.php'));
        });
Randevu formundan görsel de gönderdiğimiz için sorun olduğunu düşünüyorum. Çalışan kod yapısı aşağıdaki gibidir. Benzer sorun yaşayanlar için çözüm olur umarım.


const fileInput = document.getElementById('img');
const file = fileInput.files[0];


fetch(url.replace(':id', this.params.id), {
                        method: 'POST',
                        body: formData,
                        headers: {
                            'X-HTTP-Method-Override': method,
                            'X-CSRF-TOKEN': csrfToken,
                            'Accept': 'application/json'
                        },
                    })
Genki adlı üyeden alıntı: mesajı görüntüle 
const routeUrl = "{{ url('/api/events') }}";
const csrfToken = "{{ csrf_token() }}";
let url = this.params.id ? `${routeUrl}/${this.params.id}` : routeUrl;
Rotanız burada /api/events/ID şeklinde oluyor

Rotalarınız ise /api/events/update/ID şeklinde tanımlı