Anladığım kadarıyla kişinin uygulama içerisindeki çevrimiçi olma durumunu kontrol etmek istiyorsunuz.
Firebase ile olan çözümü söyliyim;

streamleri kullanarak yapabilirsin firestore un stream snapshotları var. Flutter tarafında da compute diye bir method vardı yanlış hatırlamıyorsam. main methoddan ayrı paralel olarak çalışıyor. O methodu kullanarak her 1dk da bir fb ye veri gönder veri gelmezse offline olsun gelirse online olsun.

Ancak bunu kullanırsan faturan çok şişer, firebase maalesef çok maliyetli bir sistem. Bunun yerine socket.io kullanmanı öneririm.