yaptığınız işlemlere bağlı değişir
hosting veritabanı zaten kullanılmaz
eve hosting hiç uğraşmayın
amazon çok pahalı

güzel bi dedicated servera mysql veya çok kompleks işlemler yoksa kolay geçiririm derseniz postgresql

mysql'i oyunun neresinde kullanıyorsunuz mesela ona bakmak lazım, update select insert hangisi sıkıntılı, sorgular verimli mi,
sorun kesinlikle mysql de mi, nerden bağlanıyorsunuz php vs ise orda sıkıntı olmadığına emin misiniz,
illa veritabanı kullanmanız mı gerekiyor hızlı değişen ama kalıcı olarak saklanması (fazla) gerekmeyen bir şey ise redis gibi sistemlere geçilebilir (örn soru yarışması oyunu var herkes cevabı gönderiyor, burda mysql çok gereksiz olur, hatta redis bile gereksiz olur daha düzgün bir server yazılıp memory'de tutulması en iyi çözüm olur bu durum için)