php ile ilgili bir durum değil.
javascript/jquery ile yapabilirsiniz.
ilk başta birinci seletbox dışında diğerlerini default disabled olarak ekrana yazdırın.

if(isset($_POST['birinciselect'])){
    //birinci selectten gelen degere gore ikinci select in icerigi
    $data = [
        'list' => [
            'id' => $id_degeri,
            'text' = $text_degeri
        ],
        [
            'id' => $id_degeri2,
            'text' = $text_degeri2
        ],
        [
            'id' => $id_degeri3,
            'text' = $text_degeri3
        ]
    ];
    echo json_encode($data);
}elseif(isset($_POST['ikinciselect'])){
    //ikinci select için ustteki gibi ayni veri islemleri
}

$('#birinciselect').on('change',function(){
    $.post('backend.php', {birinciselect : $(this).val()}, function(data){
        if(data.list){
            $.when($.each(data.list,function(i,v){
                $('#ikinciselect').append(
                    $('<option>',{
                        'value':v.id,
                        'text':v.text,
                    })
                )
            })).promise().then(function(){
                $('#ikinciselect').prop('disabled',false).focus();
            });
        }
    }, 'json');
});

$('#ikinciselect').on('change',function(){
    $.post('backend.php', {ikinciselect : $(this).val()}, function(data){
        if(data.list){
            $.when($.each(data.list,function(i,v){
                $('#ucuncuselect').append(
                    $('<option>',{
                        'value':v.id,
                        'text':v.text,
                    })
                )
            })).promise().then(function(){
                $('#ucuncuselect').prop('disabled',false).focus();
            });
        }
    }, 'json');
});

//...

kod okuma yeteneğiniz var ise çok basit olarak az çok mantığını kodlarla anlatmaya çalıştım.
eksikleri çok fazla, kendinize göre düzenleyip geliştirmeniz gerekir.