İstediğinizi doğru anladıysam şu kısımda if'i kaldırıp src yerine linki vereceksiniz.
 {% if site['logo'] %}
                   <img src="{{ site['logo'] }}" alt="{{ site['name'] }}" class="logo-lg" title="{{ site['name'] }}">
                 {% else %}
                   <img src="LİNK" alt="{{ site['name'] }}" class="logo-lg" title="{{ site['name'] }}">