Şu şekilde bir mantık kurabilirsiniz. Testini yapmadım. Mantık olarak belki bir fikir verir diye yazıyorum.

$yenisira=$_POST['yenisira'];
$slide_id=$_POST['slide_id'];


$eskisirasorgu=$db->prepare("SELECT * FROM slider where slide_id = {$slide_id} ");
$eskisirasorgu->execute();
$sonuc=$eskisirasorgu->fetch(PDO::FETCH_ASSOC);
$eskisira=$sonuc['slide_sira'];



if ($yenisira > $eskisira) {
    $sorgumetin="SELECT * FROM slider where slide_sira > ".$eskisira." and slide_sira <= ".$yenisira;
} elseif ($yenisira < $eskisira) {
    $sorgumetin="SELECT * FROM slider where slide_sira >= ".$yenisira." and slide_sira < ".$eskisira;
}
        

$sorgu=$db->prepare($sorgumetin);
$sorgu->execute();
while ($cikti=$sorgu->fetch(PDO::FETCH_ASSOC)){


if ($yenisira > $eskisira) {
    $sirakaydir= $cikti['slide_sira'] - 1 ;
} elseif ($yenisira < $eskisira) {
    $sirakaydir= $cikti['slide_sira'] + 1 ;
}


$duzenle=$db->prepare("UPDATE slider SET
            
            slide_sira=:slide_sira
                
            WHERE slide_id = {$cikti['slide_id']}");

        $update=$duzenle->execute(array(
            
            'slide_sira' => $sirakaydir
            
        ));

}

    
$duzenle=$db->prepare("UPDATE slider SET
            
            slide_sira=:slide_sira
                
            WHERE slide_id={$slide_id}");

        $update=$duzenle->execute(array(
            
            'slide_sira' => $yenisira
            
        ));