Soyle bi deneyin;

$(function(){
        $(document).on("click", "[data-toggle='update-employee']", function(){
        var dataId = $(this).data('id');
            var dataFullName = $(this).data('fullname');
            console.log(dataFullName);
            $('#employee_id').val(dataId);
            $("#full_name_update").val(dataFullName);
        })
        })

Çok pardon, gözümden kaçmış #updateEmployee idsinde birden fazla element olduğu için hata veriyor muhtemelen. Kodu şu şekilde revize edip deneyebilir misiniz.

$("[data-toggle='update-employee']").click(function () {
            var dataId = $(this).attr('data-id');
            var dataFullName = $(this).attr('data-fullname');
            console.log(dataFullName);
            $('#employee_id').val(dataId);
            $("#full_name_update").val(dataFullName);
        });

<a type="button" class="btn-sm btn-primary" data-toggle="update-employee" data-id="{{ $employee->id }}" data-fullname="{{ $employee->full_name }}" data-toggle="modal" data-target="#bs-example-modal-lg1">Düzenle</a>

Ek olarak sayfada yalnızca 1 adet modal olmalı. Döngü içerisine sokmayın.