Bu yapacağın javascript ile sayfa yenilenmeden yapılabilir ama PHP ile istediğin için yöntemini yazıyorum.

Butona bastığında phpdeki sayının artmasını istiyorsan. HTML ile PHP arasında veri aktarımı yapmalısın. Burada kullanacağımız aktarım methodu GET.

Öncelikle PHP'de sayı değişkenimizi belirleyelim. (karışıklık olmaması için getteki sayı ile değişken olan sayının isimlerini farklı yazıyorum.)

Sayfa adımız islem.php

----php tagımızı açalım.

$php_sayi = 0;

GET ile get_sayi verisinin gelip gelmediğini kontrol edelim ki eğer get yoksa 0 dan başlasın ve hata vermesin. Eğer get_sayi var ise GET'teki güncel sayı değerini alsın ve phpdeki sayı değişkenimize atsın.

if(isset($_GET['get_sayi'])){
  $php_sayi = $_GET['get_sayi'];
   /* eğer getten sayı değeri geliyorsa butona basılmış sayalım ve 1 arttırma işlemini gerçekleştirelim */
   $php_sayi++;
   /*NOT: sayfa yenilense bile get sayı değeri geleceği için 1 arttıracaktır.  Bu sorunu çözmek için session tutabiliriz ya da ekstra butonda arttır parametresini verip sayıyı arttırdıktan sonra arttır parametresiz yönlendirme yaptırabiliriz ama basit haliyle anlatmak istediğimden sayfa yenilenme ihtimalini şuan yok sayıyoruz :) */
}

----php tagımızı kapatalım.

Şimdi güncel sayımızı butonumuza bağlayalım.

a kullanımı:
<a href="islem.php?get_sayi=<?php echo $php_sayi; ?>">ARTTIR</a>
button kullanımı
<button type="button" onclick="location.href=islem.php?get_sayi=<?php echo $php_sayi; ?>">ARTTIR</button>
input button kullanımı
<input type="button" onclick="location.href=islem.php?get_sayi=<?php echo $php_sayi; ?>" value="ARTTIR">

<br> Güncel Sayı: <?php echo $php_sayi;?>

Eğer get ile herhangi bir veri gelmiyorsa php_sayi 0 sayılacak. Yani ilk başlangıç sayfayı ilk açış. Daha sonra basıldığında 0 değeri gelecek ve bu 1 arttırılacak.