Html kısmını aşağıdaki gibi kullandım. Php kısmını da tam sizin dediğiniz gibi yaptım. Şimdi arama yaptığımda hem 1. sayfada hem de 2. sayfada filtrelenenlerin hepsi çıkıyor. yani 3 adet sonuç çıkacaktı. 1. sayfada 3'ü de çıkıyor. Aynısı 2. sayfada da çıkıyor. Problemi çözmek üzeresiniz.

<div class="arama-alani-div">
<form action="arama.php" method="POST">
<input type="text" name="kelime" placeholder="Arama yap">
<input type="submit">
</form>
</div>