Sorun çözüldü: replace methodunu çıktı alacağımız kod satırının içine yazmam gerekiyormuş.
@Override
public void actionPerformed(ActionEvent e) {
String paragraf = dokuman.getText();
String eski = eskikelime.getText();
String yeni = yenikelime.getText();
jTextPane1.setText(paragraf.replaceAll(eski, yeni));
}