Sorun çözüldü: replace methodunu çıktı alacağımız kod satırının içine yazmam gerekiyormuş.
@Override
            public void actionPerformed(ActionEvent e) {

                String paragraf = dokuman.getText();
                String eski = eskikelime.getText();
                String yeni = yenikelime.getText();

                jTextPane1.setText(paragraf.replaceAll(eski, yeni));
            }