function setScrollDown(selector) {
  document.querySelector(selector).scrollTo(0, document.querySelector(selector).scrollHeight);
}
setScrollDown('.box');

Yukarıdaki gibi bir fonksiyon hazırladım. İlgili alanın maksimum scroll yüksekliğini alıp scroll değerine set ediyor. Yani şunu yapmanız gerekiyor; Mesajlaşma aksiyonunun gerçekleştiği durumlarda bu fonksiyonu çağırdığınızda güncel değer hep en alt olacağı için sürekli aşağıya scroll etmiş olacak.