Kısa cevap, SQLite ile doğrudan uzaktan bağlantı kurup localdeki gibi çalıştıramazsınız.

SQLite dosya tabanlı bir veri tabanıdır. İçerisinde yerleşik bir ağ bağlantısı desteği olmadığı için uzaktan erişmek istediğinizde normal bir dosya gibi davranır. Üstte de belirttiği gibi dosyayı public yapabilirsiniz, dosyayı alır, localde değişikliğinizi yapar tekrar uzak sunucuya aktarırsınız. Ya da uzak sunucunuzdaki veri tabanı işlemlerini kontrol etmek için ara katman olarak davranan bir web servis yazabilirsiniz. Herkese açık olmaması için bir authentication ayarlanması gerekir. Bu şekilde de aynı anda tek bir yazma işlemi yapılabilirsiniz, çoklu erişim ya da multi thread yapısı kullanamazsınız. Özetle uzaktan erişim gibi bir ihtiyacınız varsa SqLite tavsiye edilen bir tercih değil.

Bunlarla uğraşmak istemezseniz uzak bağlantı destekleyen MongoDB, PostgreSQL, MySQL gibi bir çok alternatif mevcut, hepsi python destekli, syntaxleri çok benzer ihtiyacınıza göre olanı seçip kullanabilirsiniz.