Bu işlemi sunucu tarafında yapıp kendi API mimarinizi kurmalısınız. Yani dart (flutter) ile değil başka bir dil ile sunucu taraflı veritabanınıza eklemelisiniz.

Mobil uygulama yapıyorsanız bunu uygulama içinde yapmak pek mantıklı değil. Sunucu kiralama şansınız varsa Node.js ya da Python ile scraping yapmanızı öneririm. Ardından bunu yazacağınız bir API aracalığı ile uygulamaya aktarırsınız. Sunucu kiralayamıyor iseniz paylaşımlı hosting üzerinde PHP ile de yapabilirsiniz.