Yarın müsait olur musunuz? Bilsayar başında değilimde ya da çözümü biliyorsanız kod halinde atabilir misiniz?
const element = document.querySelector("#divName")
window.scrollTo(0,element.scrollHeight);
bu kodu yeni bir mesaj gelince ve mesaj gönderilince çalışan eventin en altına ekleyin.
tabi öncedesinde divName'yi kendi chatınızın id/class'ı ile değiştirin.