İstediğim gibi çalışacak bir hale getirdim. Başkalarına da yararlı olabileceği için paylaşıyorum.
$gun = date('j'); 
$ay = date('n');

$query = "select AdSoyad,MailAdresi from calisanlistesi Where Gun = $gun and Ay = $ay";
$result = mysqli_query($link, $query);
$row = mysqli_fetch_row($result);
require 'class/class.phpmailer.php';
foreach($result as $row)
    {
        $mail = new PHPMailer;
        $mail->IsSMTP();                                
        $mail->Host = 'SMTP.office365.com';        
        $mail->Port = '587';                                
        $mail->SMTPAuth = true;                            
        $mail->Username = 'erkutcin@***.com.tr';                    
        $mail->Password = '*******';                    
        $mail->SMTPSecure = 'tls';                            
        $mail->From = 'erkutcin@***.tr';            
        $mail->FromName = 'Erkut Cin';                    
        $mail->AddAddress($row["MailAdresi"], $row["AdSoyad"]);    
        $mail->WordWrap = 50;                            
        $mail->IsHTML(true);
        $mail->SetLanguage("tr", "phpmailer/language");
        $mail->CharSet  ="utf-8";        
        $mail->Subject = $row["AdSoyad"].' Doğum Günün Kutlu Olsun'; 
        $mail->Body = '
        
        <img src="https://www.hediyesepeti.com/blog/wp-content/uploads/2017/03/dogum-gunu-kutlama-kartlari-4.jpg">
        
        ';
        $mail->AltBody = '';
        $result = $mail->Send();                        
 }
?>