PHP'de tek tırnak içerisinde değişken değerini yazdıramazsınız. Tek tırnak içerisine yazdığınız şey doğrudan yazdırılır. Bu nedenle bu şekilde sadece $değişken olarak mail gider.

$bodyText = '<p>Bu link den hesabınızı aktifleştirebilirsiniz
         <a href="https://yourvideolist.com/index.php?sayfa=aktif&kod=$code">Hesabınızı aktifleştirmek için Tıklayınız...</a>
         </p>
        ';
$mail->addAddress($user_mail, $user_name);
$mail->Body = $bodyText