konunuz ilginç olmuş merak ettım bende ufak bir araştırma yaptım
https://www.nkfu.com/g-yumusak-g-harfi-ozellikleri/
Yukardaki konu durumu gayet guzel açıklamış bence neden kullanıldıgını ne işe yaradığını aslında yukardaki siteye göre kelimeleri yumuşatıyor.
Alttaki konuda da biraz siyasi davranmışlar ama orda da net açıklama güzel
Mantıklı bir açıklama
https://diksiyonsanati.com/g-harfi-kullanimi
Yani Ğ harfi konulduğu yerlerde sesi uzatmak ve kelimenin okunuşunu değiştirmek için var.
Sizler Ağrı örnek vermişsiniz eğer telefuzdaki gibi söyleyecek olsaydık A a r ı şeklinde telafuzu biraz ilginç olurdu ama Ğ harfi harfi uzatıyor ve yumuşatıyor bu yüzden de var.
Tabi bu dediklerim bu konuyu okuduktan sonra yaptıgım ufak bir arama sonucu bulduklarım.

Dipnot: Yukardaki sitelerle hiçbir bağlantım yok.