Bunu PHP tarafında şu şekilde yaparsınız;
Aldığınız YouTube URL'i bu şekilde olsun:
https://www.youtube.com/watch?v=okmVz5K1lHY

Buradaki değer "v=" ile belirtilmiş ve v ile gönderilmiş. explode fonksiyonu ile "=" karakterinden durumu yakalayabiliriz. Ama bu akla ilk gelen yöntem.
Daha iyi bir yöntem olan parse_url ve parse_str kullanacağız.

// URL değişkenini statik şekilde tanımlıyorum. Siz burada kullanıcıdan alınan veriyi kontrol edeceksiniz.
$url = 'https://www.youtube.com/watch?v=okmVz5K1lHY';
// parse_url fonksiyonu ile URL özelliklerini çekiyorum.
$parts = parse_url($url);

$parts çıktısı şu şekilde bir dizi döndürüyor. Bizim burada yakalamamız gereken anahtar query değeri.

Array (
    [scheme] => https
    [host] => www.youtube.com
    [path] => /watch
    [query] => v=okmVz5K1lHY
)

Hemen devam edelim parse_str fonksiyonu ile query anahtarının içerisindeki değeri $query ismindeki değişkene yazıyorum.

// URL değişkenini statik şekilde tanımlıyorum. Siz burada kullanıcıdan alınan veriyi kontrol edeceksiniz.
$url = 'https://www.youtube.com/watch?v=okmVz5K1lHY';
// parse_url fonksiyonu ile URL özelliklerini çekiyorum.
$parts = parse_url($url);
// $query değişkenimize query anahtarı içerisindeki değeri yazıyorum.
parse_str($parts['query'], $query);

$query isimli değişkenin içerisinde "v" adında bir anahtar oluşuyor. Bu anahtarın değerini kullanarak sadece YouTube video id'sini kullanabilirsiniz.

Array (
    [v] => okmVz5K1lHY
)