Merhaba, daha önce bir projede böyle bir kod parçacığı kullanmıştım. Belki işinize yarar;

$('.message-content').scrollTop($('.message-content').prop("scrollHeight"));

Gerekli yerleri kendinize göre düzenleyebilirsiniz.
Not: prop kısmı fazlalık olabilir, tam emin değilim. Direkt kodu kopyaladım.