Edit: Farkettimde ufak bir syntax hatası yapmışım, en sondaki tırnağı unutmuşum. Ve diğer sıkıntıysa girilen urlnin uzantısını alıp kaydetmediğimiz için muhtemelen 0,1,2,3,4,5 şeklinde kaydedecektir.

Sanırım şu şekilde daha iyi çalışacaktır.

<?php
if ( isset ( $_POST['resim_submit'] ) ) {
for( $k = 0; $k <= $_POST['sayi']; $k++) {
$url = $_POST['url'];

$explode = explode(".", $url);
$ext = $k . "." . end($explode);

file_put_contents($ext, file_get_contents($url));
echo "$ext <= saved!<br />";
}
}
?>
<form method="post">
<input placeholder="Resim URL" type="text" name="url" <?= isset ( $_POST['url'] ) ? "value=\" " .$_POST['url']. " \"" : null ?>>
<input placeholder="İndirme Sayısı" type="text" name="sayi" <?= isset ( $_POST['sayi'] ) ? "value=\" " . $_POST['sayi'] . " \"" : null ?>>
<input type="submit" name="resim_submit">
</form>

Çok fazla aynı dosyadan işlem yapılacaksa sürekli indirme yerine tek seferlik indirme ve sonrasında kopyalama işlemi daha mantıklı olabilir. İndirerek yapılması gerekiyorsa aslında ajax ile parçalanarak yapılması daha iyi olur. Ama bu, şuanlık istediğiniz işlevi görecektir.