<?php

$admin_users = admin_kayit_model::all();

foreach ($admin_users as $admin_user) {
    if ($admin_user->username == $request->username) {
        return "hata";
    }
}

$password = Hash::make($request->password);

admin_kayit_model::create(['username' => $request->username, 'password' => $password]);

şeklinde yaparsan buradaki problemini çözersin.

AMA

burada büyük bir mantık hatası var. databaseden tüm datayı çekip içinde gezerek validasyon yapmak hiç mantıklı değil.
heleki bu veri büyüdüğünde veya başka bir kontrol daha yapmak istediğinde işler iyice çığırından çıkar.

Bu validasyonlar için laravelin kendi yapası var zaten.

Örnek konu anlatımı: https://www.sakirmehmetoglu.com.tr/l...tion-islemleri
Resmi döküman: https://laravel.com/docs/7.x/validation

Buradaki unique kuralı senin işini hem çok basit şekilde, hemde böyle php tarafında değil direk database sorgusu ile çözecektir.
Bu tarz işlemleri bunlarla yapmanı öneririm.