Güncelleme sayfasına resim upload inputunu koyarsın ve güncelleme kısmında o inputun boş olup olmadığını kontrol edersin.Eğer boş değilse eski resmi silip yeni resmi eklersin.

Resim boyutlandırma vb. bir çok işlem için şu paketi yükleyin: composer require intervention/image

public function upload(Request $request)
{
$request->validate([
'file' => 'required|file|mimes:jpeg,jpg,png,svg|max:4096' // uzantı ve maks dosya boyutu için validation
]);

$name = 'resim_adi'; // üye id veya name gibi değerlere göre bir resim adı (bu değer sabit olursa yeni gelen dosyayı eskisinin üzerine kaydeder)

// resim adı farklı yaparak eskisini silmek istiyorsanız
// use Illuminate\Support\Facades\Storage;
// Storage::delete(storage_path('app/public/avatar/'.$name.'.jpg)); // eski resmi sil

$img = \Intervention\Image\Facades\Image::make($request->file);
$img->fit(256, 256); // isterseniz resmi orantılı bir şekilde boyutlandır
$img->save(storage_path('app/public/avatar/'.$name.'.jpg'), 60); // storage dosyasına resmi %60 kalitede kaydet
}