cookie ile yapılabilir
Cookie tanımlama : setcookie("kapandim", "benikapattilar", time() + (60*60*24) );

a tagını if(!$_COOKIE['kapandim']):
<a>ç....</a>

endif;

şeklinde verirsen 1 gün boyunca açılmaz

(60*60*24) süreyi arttırabilirsin


fakat senin kodlarda tetikleyici ve js olduğu için js ile cookie oluşturmalıyız
Tam Kod:

<?php
// PHP ile Cookie oluşturma
// setcookie("kapandim", "benikapattilar", time() + (60*60*24) );

if(!$_COOKIE['kapandim']):?>
?>
<a href="javascript<b></b>:void (0);" onclick="uyariKapat();" id="uyarikapatid" class="uyarikapat"><i class="fa fa-times-circle" style="color:#888888"></i></a>
 <?php endif; ?>
 
 
 <div class="lh20">
      
           <font face="tahoma" size="3" color="#339440"><b>Hoşgeldiniz</b></font><br>            
            <b>5199 sayılı Kanuna dayalı olarak Satış Yerleri'nin GIDA, TARIM ve HAYVANCILIK BAKANLIĞI Ruhsat ve Kontrollerine tabi olması gerekmektedir.</b> <br>  "kedi ve köpek satışı" yapmamaktadır. Bu konu için ilan sahipleri ile iletişime geçin. <br>Mutlaka hayvanınızın sağlığı için, alışveriş yapacağınız ilan sahiplerinin yetki belgesini görmeyi ihmal etmeyin.
        </center>
 </div>
  <script type="text/javascript">
function setCookie(name,value,days) {    var expires = "";    if (days) {        var date = new Date();        date.setTime(date.getTime() + (days*24*60*60*1000));        expires = "; expires=" + date.toUTCString();    }    document.cookie = name + "=" + (value || "")  + expires + "; path=/";}
            function uyariKapat() {
              document.querySelector('.lh20').classList.add('aciklamakapat');
setCookie('kapandim','benikapattilar',7);document.getElementById( 'uyarikapatid' ).style.display = 'none';
        </script>

Düz mantık php ile yapmassam içimde kalır

<?php

if($_GET['durum=kapandim']:
setcookie("kapandim", "benikapattilar", time() + (60*60*24) );
endif;

if(!$_COOKIE['kapandim]: ?>
<a href="index.php?durum=kapandim" class="uyarikapat"><i class="fa fa-times-circle" style="color:#888888"></i></a>

<?php endif; 


?>