Aşağıdaki kodu

$query .= 'id                 LIKE "%'.$_POST["search"]["value"].'%" ';
$query .= 'OR not_baslik         LIKE "%'.$_POST["search"]["value"].'%" ';
$query .= 'OR not_detay          LIKE "%'.$_POST["search"]["value"].'%" ';
$query .= 'OR not_ekleyen        LIKE "%'.$_POST["search"]["value"].'%" ';

Şununla değişirsen çalışır ancak hiç önerilmeyen bir yöntemdir. PDO ve binding konularını araştırmanı öneririm. Bu güvenlik açığıdır.

$query .= "id                 LIKE '%".$_POST["search"]["value"]."%' ";
$query .= "OR not_baslik         LIKE '%".$_POST["search"]["value"]."%' ";
$query .= "OR not_detay          LIKE '%".$_POST["search"]["value"]."%' ";
$query .= "OR not_ekleyen        LIKE '%".$_POST["search"]["value"]."%' ";