WHMde tweak settings kısmında Redirection bölümünde olması gerek. Always seçili olması lazım onu değiştirerek bir deneyin.
Mobilden girdiğim için ayrıntılı kontrol etme imkanım olmadı.
Bahsettiğiniz ayarları farklı seçenekleriyle denedim ama çözüm olmadı. Ya da daha farklı bir şey yapılması gerekiyor orada.
Bu arada yeni bir şey keşfettim.
ORNEKSITE.com üzerinde ssl yüklü değil. Fakat
https://ORNEKSITE.COM:2096/3rdparty/roundcube/index.php ile girdiğimde
ORNEKSITE.COM üzerinde kalıyor. http protokolünü kullandığımda ise
ns1.benimsunucum.com üzerinden giriş yaptırıyor.
Biraz kurcalıyorum... Bulsam iyi olacak ama ORNEKSITE.com'a ssl yükler geçerim. Çok sağ olun..
EKLEME: Tweak Settings / Redirecton ayarlarını şu şekilde yaptım, başka yeri bozmadıysam sorun çözüldü gibi duruyor.
Byby Cpanel, s.a ssh 
Choose the closest matched domain for which that the system has a valid certificate when redirecting from non-SSL to SSL URLs. Formerly known as Always redirect to SSL/TLS [?]: Off
Non-SSL redirect destination [?]: Origin Domain Name default
SSL redirect destination [?]: Origin Domain Name
Logout redirection URL [?]: No redirection defaul
Başta @Onurss olmak üzere herkese katkısı için teşekkür ederim.