Ajax kullanabilirsiniz.
Ajax ile başvuru id'sini bir php dosyasına gönderin. Daha sonra o id'ye ilişkili olan veriyi alıp mail atın. Ajax'i araştırırsanız demek istediğimi anlayacaksınız.

Detaylı Anlatım:
Gönder butonuna (data-id="başvuru idsi") şeklinde id'yi ekleyin.

var basvuruID = $(this).data("id");
yukarıdaki kod ile butondaki id'yi alırsınız. Popup'ı açında daha sonra form action ile dediğim gibi id ve mail'i yeni bir php dosyasına aJax ile gönderin. O dosyada elinizde başvuru bilgileri ve gönderilerecek mail adresi olacak. Ondan sonra klasik olarak mail gönderim işleminizi yapın.