Aşağıdaki yöntemle yapabilirsin. Umarım google politikalarına aykırı bir geliştirme yapmayı planlamıyorsundur üzerinde.

jQuery(document).ready(function ($) {
$('#gsc-i-id1').val('ARATMAK İSTEDİĞİN KELİME'); // google arama modülünden gelen inputID
$('.gsc-search-button').trigger('click'); // google arama modülündeki submit button class ı
});

İyi çalışmalar.