<a> etiketi içerisinde
rel="nofollow" ekleyerek yapabilirsiniz.
Sizin kod şöyle oluyor;
<a class="btn btn-default" href="<?php echo $photo_source; ?>" target="_blank" rel="nofollow"><img src="https://www.google.com/s2/favicons?domain=<?php echo $photo_source; ?>" alt="" /> <?php echo $photo_source_domain; ?></a>