Merhaba üstadım,
Kapsayıcı divine sabit genişlik, yükseklik ve position:relative; ver üzerine gelince çıkmasını istediğin butonu kapsayıcın divin herhangi bir yerine ekleyebilirsin. O butonu position:absolute; verip left ve right ile yerini ayarla ondan sonra display:none ver kapsayıcı divin hover olduğunda display:block; yap bu kadar yazdıklarımı madde madde uygularsan olacaktır.