Merhaba,
Sorunuz pek net değil aslında. Bir oyuna benziyor.
1'inci sorunuza yanıt olarak en basitinden echo ile salt html'i dökebilirsiniz.
2'inci yanıtınız tek sayfada yapabilirsiniz. Fakat amacınızı tam anlamadığım için buna net bir şey söylemek mümkün değil. Javascript ile random sayılar verdirilip sıralaması yine js ile kontrol edilebilir fakat bu bir oyunsa, bu teknik güvenli olmayacaktır. Sayılar server tarafında oluşturulmalı ve yine server'a gönderilmeli. Yoksa js kolayca bypass edilip direk islem_tamam fonksiyonu çalıştırılabilir.
3 için yanıt da ajax kullandığınızda sayfa yenilenmeyebilir. Bu dediğim gibi sizin tam amacınıza bağlı.

Verdiğiniz açıklama ışığında bir gidiş yolu sallamak gerekirse;
bence php sayfanızda random sayılarınızı echo edin ve kişinin sıralamasını isteyin. Tabi bu sıralama random sayı kadar inputlara el ile mi yazılacak, o sayılar mouse ile taşınıp mı sıralanacak bilemiyorum. Sonrasında o yanıtı ajax ile gönderip kontrol ederek yanıtı yine aynı yerde, doğru yanlış bildiniz kazandınız vs. şeklinde görüntületin.

Kolaylıklar,iyi bayramlar.