$('#btngonder').click(function (event) {
      event.preventDefault();
      var formValues = $('#form_mesaj').serialize();//formdeğerleri 
      var jqxhr = $.post('mesajekle.php', formValues, function (gelen) {
      });
      jqxhr.done(function (gelen) {
         alert(gelen);
      });
   });

sizin formda buton summit olmasından dolayı. yazdığınız js olaya girmeden sayfa gönderimi gerçekleşiyor. Bu yüzden ya kaydet butonunu type="button" yapacaksınız. ya da event.preventDefault(); summit olayını önleyerek js nizin çalışmasını sağlayabilisiniz.