O zaman while dışında bir $i tanımlayıp her seferinde bunu bir arttırabilir ve eğer 10 veya katıysa bunu göstermesini sağlayabilirsiniz.

<?php 
    $i =0;
    $sql=mysql_query("SELECT * FROM faturalar where musterino= '$musterino' ORDER BY id ASC"); 
    while($row=mysql_fetch_assoc($sql)){ 
       $i++;
       if(($i%10 == 0) && ($i!=0))
{
?>
butonlar
<?php 
}
else {
?> 
                <tr> 
                    <th><span class="glyphicon glyphicon-chevron-right"></span></th> 
                    <th><?=$row['faturano']?></th> 
                    <th><?=$row['donem']?></th> 
                    <th><?=$row['sonodeme']?></th> 
                    <th><?=$row['geneltoplam']?></th> 
                    <th><? if($row['durumu']=="1") 
                            { 
                            echo "<font color='green'>Ödendi</font>"; 
                            } else { 
                             echo "<font color='red'>Ödenmedi</font>"; } ?>     <? if($row['durumu']=="0") 
                            { 
                            echo "<a href='fatura-ode.php?faturano=$row[faturano]'>Hemen Öde</a>"; 
                            } ?></th> 
                </tr> 
                    <?php 
    } 
}
?>