Sorguyu toparlayalım öncelikle ;

<?php

mysql_query("SELECT * FROM Personel WHERE Favori_Site = 'a.com' and Personel.Isım = 'Ahmet' or Personel.Isım = 'Denizhan'");

?>

Siz burada Personel tablosunun içerisinde Favori_Site alanında a.com isimli web sitesi değerlerine ait Personel ismi ahmet veya personel ismi denizhan olan kişinin bilgilerini sorguluyorsunuz. İkisinden birisi var ise eğer.

Şöyle bir yol izleyelim o zaman

$isim   = "Ahmet";

$sorgu = mysql_query("SELECT * FROM Personel WHERE Favori_Site = 'a.com' and Personel.Isım = '".$isim."'");

$row   = mysql_num_rows($sorgu);

if($row > 0){

 echo 'Evet ahmet isimli bir personel var';
 // Ahmet isimli bir personel varmış devam edelim buradan o zaman denizhanı kontrol edelim şimdide..

 unset($isim);
 $isim = "Denizhan";
 $sorgu;

 $kontrol = mysql_num_rows($sorgu);

           if($kontrol > 0)[

              echo 'Evet ahmeti bulduk denizhanda var';

           }else{

              echo 'Ahmet var ama denizhanı bulamadım';
 
            }
 
}else{

echo 'Malesef ahmet isimli bir personel yok';

}

Ben mantığı anlatmaya çalıştım. if içerisinde if kullandım tabikide başka yollarıda vardır mutlaka. Bu şekilde bir çözüm üretebilirsiniz belirttiğim yol ile.