Arkadaşım bi önceki mesajımı dikkatli okudun mu?
begen.php de işlem yaptıktan sonra veritabanından beğeni sayısını alıp ekrana yazdırman lazım. Yani begen.php içeriği şunun gibi olmalı:

$id = intval($_POST['id']);
$artir= mysql_query('update makale set makale_begen=makale_begen+1 where m_id='.$id) or die (mysql_error());
$sor = mysql_fetch_array(mysql_query('select makale_begen from makale where m_id='.$id));
echo $sor['makale_begen'];
exit;