Arkadaşım begen.php de beğeni sayısını yazdıracaksın ki,

<div class="begeni"></div>

içine gelen değeri yazsın. Değer geliyor mu anlamak için

function begen(m_id){ 
$.ajax({
    type: 'POST',
    url: 'begen.php',
    data: 'id='+m_id,
    success: function(art) {
        alert(art);
        $(".begeni").html(art);
        }
    
});

şeklinde kullan bak bakalım alert de ne değer veriyor butona tıklayınca.