Düzenlerken hata vermesi normal, çünkü o an o kaydı düzenliyorsunuz. Düzenlerken yapacağınız şey kayıt saydırmak. Sorguya uygun birden fazla kayıt var ise uyarıyı bastıracaksınız.

Yani kabaca şöyle olacak;

    $bos=mysql_num_rows(mysql_query("select * from oyun where oyun_adi='$gelen_isim'"));
    if($bos > 1){ 
        echo 'bu isimde '.$gelen_isim.' daha önceden oyun eklenmiş ';
        }  else { kayıt verisi }