Genelde bu hata wp-config.php içerisindeki bilgilerin yanlış olmasından ya da MySql sunucunun çökmüş olmasından kaynaklanmaktadır. Eğer güncelleme yaptıktan sonra site bir süre de olsa çalışmaya devam etmişse ve siz wp-config.php dosyasında değişiklik yapmadıysanız, iki ihtimal var görünüyor, birincisi hostinginizde o site için kullanılan mysql sunucu çökmüştür, bekleyin bir süre sonra düzelir ya da firmaya mail atın, ikinci ihtimal ise localhost olan sunucu adresi yerine IP adresi kullanılmaya başlanmış olabilir (başıma gelmişti, firma böyle bir değişikliğe haber vermeden geçmiş, saatlerce beni uğraştırmıştı), bu durumda cpanel'den phpmyadmin'e girin ve üst tarafta localhost yazıp, yazmadığını kontrol edin. Aynı şekilde veritabanıyla ilgili bir sorun olup, olmadığını da kontrol etmiş olursunuz. Eğer phpmyadmin'den veritabanınıza bağlanıyorsanız, sunucuda sorun yok demektir.
Son tavsiyem, wp-config.php'deki mysql veritabanı adı, sunucu adresi, kullanıcı adı ve parolasını, cpanel'deki bilgilerle karşılaştırarak kontrol edin.