Sanırım mysql'de LIKE komutunun karşılığını mongoDB'de uygulamaya çalışıyorsunuz. Bunun için MongoRegex kullanabilirsiniz.

Aşağıda kendi mongo db veritabanımda daha önce kullandığım bir örnek paylaşıyorum. users isimli collection içerisinde adı İbrahim olan kişileri bu kod ile çekebilirsiniz.

$users = $this->db->users;
        
$search = new MongoRegex('/^İbrahim/i');
$records = $users->find(array('firstName' => $search));

foreach($records AS $row) 
{
   echo '<pre>';
   print_r($row);
   echo '</pre>';
}