$_GET metotuyla aramayı böyle yaptırabilirsin. API urlsinin aldığı parametrelerden q parametresine urlencode edip aranan kelime gönderirsen sonuçları alırsın.

$search_term = urlencode($_GET['q']);
$api_url = "https://ajax.googleapis.com/ajax/services/search/images?v=1.0&q={$search_term}";