Sizin sorgunuz:

$wpdb->query("INSERT INTO wp_posts(post_title, post_content, post_excerpt,post_date,post_category)
VALUES('$baslik', '$adres','$adres',now(),'$cat')");

$last_inserted_id = $wpdb->insert_id;

echo $last_inserted_id;

Olması gereken:

$wpdb->insert('wp_posts', array(
'post_title' => $baslik,
'post_content' => $adres,
'post_excerpt' => $adres,
'post_date' => current_time('mysql', 1),
'post_category' => $cat
));
echo $wpdb->insert_id;

Mobilden yazıyorum, yanlış yazmış olabilirim. Sonucu burada belirtirseniz ona göre yardımcı olmaya çalışayım.