Arkadaşım değeri alıyorsun ama sessiona veya veritabanına vs. kaydetmeden diğer sayfaya gönderiyorsun. Tabii ki göstermez. havadurumu.php de şu kısmı:

<?php
 if(empty($_GET['ders'])){
   echo "lütfen bir alan seçiniz";
   }
  else if(isset($_GET['ders'])){
   $ders = $_GET['ders'];  
   header("Location:index.php?yonetici_islem=2");   
}

?>

Şu şekilde değiştirip:

<?php
session_start();
 if(empty($_GET['ders'])){
   echo "lütfen bir alan seçiniz";
   }
  else if(isset($_GET['ders'])){
   $ders = $_GET['ders'];  
   $_SESSION['ders'] = $ders;
   header("Location:index.php?yonetici_islem=2");   
}
?>

index.php de şu kısmı:

    <?php    
    if ($ders==gunesli) include("banner1.php");
    else if ($ders==karli) include("banner2.php");
    else if ($ders==yagmurlu) include("banner1.php");
    else  include("banner1.php");
    ?>

şu şekilde yapmalısın:

    <?php    
    $ders = $_SESSION['ders'];
    if ($ders==gunesli) include("banner1.php");
    else if ($ders==karli) include("banner2.php");
    else if ($ders==yagmurlu) include("banner1.php");
    else  include("banner1.php");
    ?>

ben sessionla örnek verdim.İstersen get ile gönderip alabilirsin bunun gibi:

header("Location:index.php?yonetici_islem=2&ders=$ders");

veya veritabanına işleyebilirsin.