Son verdiğiniz kodda iki defa file_get_contents e gerek yok, şu şekilde verebilirsiniz..

İstanbul için hava durumu<br /><br />

<?php

$site = file_get_contents("http://meteor.gov.tr/tahmin/il-ve-ilceler.aspx?m=ISTANBUL#sfB"); 

$tarih = explode('<td class="sond_zaman">',$site); 
$tarih = explode('</td>',$tarih[1]); 

$sicaklikgunduz = explode('<td><em class="renkMax">',$site); 
$sicaklikgunduz = explode('</em>',$sicaklikgunduz[1]); 

$sicaklikgece = explode('<td><em class="renkMin zemimeZ">',$site); 
$sicaklikgece = explode('</em>',$sicaklikgece[1]); 

$durum = explode('<div id="divSonDurum">', $site);  
$durum = explode('</div>',$durum[1]);  
preg_match('/<img.*title="([^\"]*)".*>/', $durum[0], $matches);   


$ruzgar = explode('<br /><em>',$site); 
$ruzgar = explode('</em>',$ruzgar[1]); 
?> 

Güncelleme: <?php echo date("d/m/Y"); echo ' '; echo strip_tags($tarih[0]); ?><br> 
Sıcaklık: <?php echo strip_tags ($sicaklikgunduz[0]); ?><?php echo strip_tags ($sicaklikgece[0]); ?> <br /> Durum: <?php echo $matches[1];  ?> <br /> Ruzgar Hızı: <?php echo strip_tags ($ruzgar[0]); ?>