Dışardan neye erişmek istiyorsan onu public olarak tanımlaman lazım. game_id değişkenine erişmek istiyorsun onu public olarak tanımlaman lazım.
Ancak public $this->game_id; olarak değil
$game_id olarak ilk nerede tanımlanmış ise onu public yapman lazım.
public $game_id; gibi
Arkadaşımız çok doğru söylemiş. private veya public gibi özel veya yerel tarzında tanımlama gerekir, eğer değişken public değilse sınıf dışında gerekli değişkeni kullanamazsınız.