Dışardan neye erişmek istiyorsan onu public olarak tanımlaman lazım. game_id değişkenine erişmek istiyorsun onu public olarak tanımlaman lazım.

Ancak public $this->game_id; olarak değil
$game_id olarak ilk nerede tanımlanmış ise onu public yapman lazım.

public $game_id; gibi