Dediğiniz olay basit sadece $_POST yazan yerleri $_GET yapmanız yeterli olucaktır ve
form kısmında
<form method="POST"
kısmını
<form method="GET"
olarak değiştirmektir..Birde <form></form> arasındaki input, textarea yada submit herneyse name adını ne yaparsanız URL öyle işter.Mesala
<input name="q"
yaparsanız örnekte yazdiğiniz gibi input kısmına tarkan yazıldığı zaman
?q=tarkan olarak arama yapacaktır ve çalacaktır şarkıyı..

index.php'de şunun gibi bir şey olması lazım.

if(isset($_GET['q']))
{
   $sorgu = mysql_query("SELECT * FROM sanatcilar WHERE sanatci_ismi LIKE '$_GET[q]'");
   while($row = mysql_fetch_assoc($sorgu))
   {
      echo $row['sanatci_ismi'], '<br />';
   }
}

İlk ve son satırın arasını kafana göre düzenleyebilirsin.