Çift tırnak içeren bir formu, echo ile yine çift tırnak arasında kullanmışsınız ve çalışmayacaktır ve SQL sorgusu içinde tekrar php açma kapama tagları kullanmışsınız.
Ayrıca uptade sql sorgusu içinde SET edilen fieldlere gönderilen değerleri, tek tırnak içinde kullanıp değişkenleride o tek tırnakların arasında '{$degisken}' şeklinde almanızda doğru bir kullanım olacaktır. Doğru kullanım olarak şu şekilde kullanabilirsiniz.

<?php
include("inc/db.php");

$tempID = $_GET["tempID"];

$read = mysql_query("SELECT * FROM temp_content where temp_id='{$tempID}'");
$write = mysql_fetch_array($read);

$name = $write['temp_name'];
$column = $write['temp_column'];
$system = $write['temp_system'];
$feature = $write['temp_feature'];
$image = $write['temp_image'];
$thumb = $write['temp_thumb'];
?>

<form action="<?php echo $_SERVER['REQUEST_URI']; ?>" method="POST">
<table>
<tr>
<td><input type="text" name="tp_id" value="<?php echo $id; ?>"></td>
<td><input type="text" name="tp_name" value="<?php echo $name; ?>"></td>
<td><input type="text" name="tp_column" value="<?php echo $column; ?>"></td>
<td><input type="text" name="tp_system" value="<?php echo $system; ?>"></td>
<td><input type="text" name="tp_thumb" value="<?php echo $thumb; ?>"></td>
<td><input type="text" name="tp_image" value="<?php echo $image; ?>"></td>
<td><input type="text" name="tp_feature" value="<?php echo $feature; ?>"></td>
<td><input type="submit" value="Submit" /></td>
</tr>
</table></form>

<?php
$edittemp = mysql_query("
    UPDATE temp_content 
    SET temp_id = '{$_POST['tp_id']}',
        temp_name = '{$_POST['tp_name']}',
        temp_column = '{$_POST['tp_column']}',
        temp_system = '{$_POST['tp_system']}',
        temp_feature = '{$_POST['tp_feature']}',
        temp_image = '{$_POST['tp_image']}',
        temp_thumb = '{$_POST['tp_thumb']}'
        WHERE temp_id = '{$tempID}'
");

if($edittemp) {
    header("Location: index.php?admin=showtemp");
} else {
}
?>